[2015년 운정고]

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[2학년 2학기 기말 미적분2]

함수 [eqn: y= {x(x+2) ^{2}} over {2(x+1) ^{3}}]의 [eqn: x=0]에서의 접선의 기울기는? [3.6점]

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: x>0]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(x ^{3} +1)=(x+1) sqrt {x+1} - {3} over {sqrt {x}} +15]
를 만족시킬 때, [eqn: f`'(2)]의 값은? [3.6점]

④

① [eqn: {sqrt {2}} over {2} -1]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2} - {1} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {2}} over {2} + {1} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {2} +1]

두 함수 [eqn: u=tanx+2], [eqn: u=y ^{3} +y+1]에 대하여 [eqn: y=1]에서의 [eqn: {dy} over {dx}]의 값은? (단, [eqn: - {pi } over {2} <x< {pi } over {2}]) [3.6점]

③

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: {a(x-1) ^{2}} over {x ^{2} +3} =k]가 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: 8]일 때, 자연수 [eqn: a]의 값은? [4.0점]

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: x>0]에서 미분가능한 함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f`'(x)]의 그래프가 다음과 같다고 한다. 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3.8점]

①

ㄱ. [eqn: f(b)<f(c)]

ㄴ. [eqn: f(d)<0이면`````` lim _{x-> INF } {f(x)=0}]

ㄷ. [eqn: a<m<b]인 임의의 상수 [eqn: m]에 대하여

[eqn: {f(m)-f(a)} over {m-a} > {f(m)-f(b)} over {m-b}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: x>`-1]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: f(x)]의 한 부정적분 [eqn: F(x)]에 대하여 [eqn: F(x)=(x ^{2} +x)f(x)], [eqn: f(x)>0], [eqn: f(0)=1]이 성립할 때, [eqn: f(1)]의 값은? [3.7점]

②

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

부정적분 [eqn: int _{} ^{} {{2x-1} over {x ^{2} -1} dx}]을 구하면? (단, [eqn: C]는 적분상수) [3.6점]

②

① [eqn: ln LEFT ( LEFT | `x-1` RIGHT | sqrt {LEFT | `x ^{2} -1` RIGHT |} RIGHT ) +C]	② [eqn: ln LEFT ( LEFT | `x+1` RIGHT | sqrt {LEFT | `x ^{2} -1` RIGHT |} RIGHT ) +C]

③ [eqn: ln LEFT | `(x+1) ^{2} (x-1)` RIGHT | +C]	④ [eqn: ln LEFT | `(x+1)(x-1) ^{2} ` RIGHT | +C]

⑤ [eqn: ln LEFT | `(x+1)(x-1)` RIGHT | +C]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'`(x)= {2x+1} over {x ^{2} +1}]이고 [eqn: f(0)=0]일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하면? [3.7점]

③

① [eqn: ln2]	② [eqn: ln2+ {pi } over {6}]	③ [eqn: ln2+ {pi } over {4}]

④ [eqn: ln2+ {pi } over {3}]	⑤ [eqn: ln2+ {pi } over {2}]

[eqn: x>0]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하고, [eqn: f` prime (x)= {2} over {1+x ^{4}}]이고 [eqn: f(0)=0]이다. 함수 [eqn: g(x)= int _{} ^{} {{4e ^{f(x)}} over {1+x ^{4}} dx}]일 때, [eqn: f(a)=1]을 만족시키는 상수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: g(a)-g(0)]의 값은? [3.6점]

①

① [eqn: 2e-2]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: e]

④ [eqn: e+1]	⑤ [eqn: 2e+2]

다음 극한값을 구하면? [4.0점]

③

[eqn: lim _{n-> INF } {{pi ^{2}} over {n ^{2}} LEFT ( sin ^{2} {pi } over {n} +2sin ^{2} {2 pi } over {n} +3sin ^{2} {3 pi } over {n} +···+n`sin ^{2} {n pi } over {n} RIGHT )}]

① [eqn: {pi ^{2}} over {16}]	② [eqn: {pi ^{2}} over {8}]	③ [eqn: {pi ^{2}} over {4}]

④ [eqn: {pi ^{2}} over {2}]	⑤ [eqn: pi ^{2}]

함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {{2} over {e ^{t} +2} dt}]에 대하여 [eqn: f(a)=1]가 성립할 때, 정적분 [eqn: int _{0} ^{a} {{ln LEFT { f(x)+1 RIGHT }} over {e ^{x} +2} dx}]의 값은? (단, [eqn: a]는 실수) [3.8점]

②

① [eqn: ln2-1]	② [eqn: ln2- {1} over {2}]	③ [eqn: ln2]

④ [eqn: ln2+ {1} over {2}]	⑤ [eqn: ln2+1]

[eqn: a>1]인 상수 [eqn: a]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)= int _{0} ^{4n} {a ^{LEFT | x-2n RIGHT |} dx}]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} {f(k)} over {a ^{2n}}}]의 값은? (단, [eqn: lim _{n-> INF } {{n} over {a ^{n}} =0}]) [4.0점]

③

① [eqn: {2a} over {(a-1)lna}]	② [eqn: {2a ^{2}} over {(a-1)lna}]	③ [eqn: {2a ^{2}} over {(a ^{2} -1)lna}]

④ [eqn: {2a ^{2} `lna} over {a-1}]	⑤ [eqn: {2a ^{2} `lna} over {a ^{2} -1}]

조건을 만족시키는 연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: int _{-1} ^{0} {f(x)dx}]의 값을 구하면? [3.7점]

(가) [eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)dx=8}]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x+1)=f(x)+ pi cos {pi } over {2} x]이다.

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: x>0]에서 증가하고, [eqn: f(x)>`-2]인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y= {f`'(x)} over {f(x)+2}]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=t(t GEQ 1)]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 2lnt]이다. [eqn: f(1)=-1]일 때 [eqn: f(4)]의 값을 구하면? [3.7점]

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: 0<x LEQ {pi } over {2}]일 때, 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=cot ^{n} x], [eqn: y=-cot ^{n+2} x]과 직선 [eqn: x= {pi } over {4}]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } 60S _{n} S _{n+2}]의 값은? [3.8점]

④

① [eqn: 10]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 50]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=e ^{x} +ln(x ^{2} +1)+ int _{0} ^{x} {f(t)dt}]을 만족시킬 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3.8점]

⑤

ㄱ. [eqn: f(0)=1]

ㄴ. [eqn: f`'(0)=2]

ㄷ. [eqn: x>0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f`'(x)>f(x)+1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서술형

함수 [eqn: f(x)=4x-sin pi x]가 증가함수임을 보이고, 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, [eqn: lim _{x-> 1} {{f(x)g(x)-2} over {x-1}}]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 3+ {pi} over {2}]

[eqn: f(1)=4], [eqn: f left( { 1} over {2 }right)=1]에서 [eqn: g(1)= {1} over {2}]

준식은 [eqn: left{f(x)g(x)right}' |_x=1]이므로 [eqn: f`'(1)g(1)+f(1)g'(1)]이다.

[eqn: f`'(1)=4+pi], [eqn: g'(1)= 1 over{f`' left( { 1} over {2 } right) }= { 1} over {4 }]

그림과 같이 [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {2}]에서 [eqn: y=a`cosx와````x축,```y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 곡선 [eqn: y=sinx]가 [eqn: S _{1} :S _{2} =2 :1]이 되도록 나눈다고 한다.

함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)= {cases{a cosx& ```(a cosx GEQ sinx)#sinx&```(sinx>a`cosx)}}]로 정의할 때, 양수 [eqn: a]와 [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f(x)dx}]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 5over4]

교점의 [eqn: x]값을 [eqn: p]라 두면 [eqn: a cosp=sinp]이고

[eqn: int_0 ^p (a cosx-sinx)dx= { 1} over 3{ }a]에서 [eqn: a sinp+cosp= { 1} over {3 }a+1]이다.

두 식을 연립하면 [eqn: a= { 3} over { 4}], [eqn: cosp= { 4} over { 5}]이다.

곡선 [eqn: y=x ^{2} +2x]과 원의 방정식 [eqn: (x-2) ^{2} +(y+1) ^{2} =1] 위를 움직이는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 할 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이의 최솟값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: sqrt { 5}-1]

‘법선이 [eqn: (2,```-1)]을 지난다.’를 풀면 [eqn: (0,```0)]에서 최단거리

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 5]이고 중심이 [eqn: rmO]인 원이 있다. 이 원의 지름 [eqn: rmAB]에 수직인 현 [eqn: rmQR]를 밑변으로 하고 지름 [eqn: rmAB]에 수직인 이등변삼각형 [eqn: rm PQR]를 만든다. 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rmM]이
[eqn: rm bar{OM }+barPM =5]
를 만족하고 점 [eqn: rmM]이 원의 지름 [eqn: rmAB] 위를 움직일 때, 삼각형 [eqn: rm PQR]가 그리는 입체도형의 부피를 구하고 그 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 250 left( { pi} over { 4}- { 1} over {3 }right)]

[eqn: 2 int _{0} ^{5} {} sqrt {25-x ^{2}} (5-x)dx]에서 [eqn: x=sintheta]로 치환

[2015년 운정고]

[2학년 2학기 기말 미적분2]

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